素数算法(Prime Num Algorithm)

素数算法(Prime Num Algorithm)

必威体育app官方版下载数学是科学的皇后,而素数可以说是数学最为核心的概念之一。围绕素数产生了很多伟大的故事,最为著名莫过于哥德巴赫猜想、素数定理和黎曼猜想(有趣的是,自牛顿以来的三个最伟大数学家,欧拉、高斯和黎曼,分别跟这些问题有着深刻的渊源)。我写这篇文章不是要探讨和解决这些伟大猜想和定理,而是回归问题本身,用计算机判定一个素数,以及求取特定正整数值下所包含的所有素数。这篇文章,算是自己对素数问题思考的一次总结。

必威体育app官方版下载先说一下素数的定义:

素数也叫质数,是只能被 \(1\) 和其本身所能整除的非\(1\)正整数。

第一个素数是2,它也是唯一一个偶素数。100以内素数列为:

2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97

有了素数的定义,我们通过计算机程序来解决以下问题。

  • 给定一个正整数\(n\), 判定该数是否为素数。
  • 给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列。
  • 给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\)), 求取 \(n_1\)\(n_2\)之间其所包含的素数列。
  • \(2\)开始计算大素数。

解决上述问题的核心算法都是埃拉托斯特尼筛法,简称埃氏筛选法。这个方法的内容即每当我们得到一个素数后,我们即将这个素数的所有倍数(\(2\)倍以上)的整数删除,重复执行该过程,最后余下来的一定是素数。

1. 给定一个正整数\(n\), 判定该数是否为素数

1.1 初始算法

1.1.1 算法

判定一个整数\(n\)是否为素数,我们只需要判定该整数是否不能被小于它的非\(1\)整数所整除。

1.1.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import com.google.common.collect.Lists;
import java.util.List;

/**
 * 求素数算法
 * @author lunyu
 * @since 2022/7/14
 */
public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {
        // 卢卡斯数列
        List<Integer> nums = Lists.newArrayList(1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123);
        for (Integer num : nums) {
            boolean isPrime = isPrime(num);
            System.out.println("整数:" + num + "是否为素数:" + isPrime);
        }
    }

    /**
   * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
   */
    private static boolean isPrime(int num){

        if (1 >= num){
            return false;
        }

        for (int i = 2; i < num; i++){
            if (0 == num % i){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

1.1.3 算法复杂度

时间复杂度 空间复杂度
\(O(n)\) \(O(1)\)

1.2 算法优化1

因为\(2\)是唯一的一个偶素数,因此,我们可以在判定时将\(2\)必威体育app官方版下载的情况特殊处理,并且每次只需判定小于该数的奇数的情况。

1.2.1 算法

判定一个整数\(n\)是否为素数,我们只需要判定

  1. 该数是是否是\(2\)
  2. 在该数不为\(2\)的情形下,该数是否不被\(2\)或小于它的非\(1\)奇数所整除。

1.2.2 代码

/**
   * 经过优化的给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
   */
private static boolean isPrimeOptimized1(int num){
 
    if (1 >= num){
        return false;
    }
    // 判定是否等于2
    if (2 == num){
        return true;
    }
    // 判定能否被2整除
    if (0 == num % 2){
        return false;
    }
    // 判定能否能被小于自身且大于等于3的奇数整除
    for (int i = 3; i < num;){
        if (0 == num % i){
            return false;
        }
        i += 2;
    }
    return true;
}

1.2.3 算法复杂度

时间复杂度 空间复杂度
\(O(\frac{n}{2})\) \(O(1)\)

1.3 算法优化2

实际上,判定一个整数\(n\)是否为素数,我们可以缩减判定的范围,将之前的全量比较,变更为,判定该整数是否不能被其开方后的整数向下取整(\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))以内(含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))的非\(1\)整数所整除。

直观一点,即自然数\(n\),能否不被整数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in Z_+\}\)所整除。

必威体育app官方版下载这个优化判定是可以证明的。我们来给出证明。

1.3.1 证明

设有正整数\(n\),它不能被其开方后的整数向下取整(\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))以内(含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))的非\(1\)必威体育app官方版下载整数所整除,我们证明它一定是一个素数。

我们用反证法。

假设它是一个合数,那么它一定可以表示成两个非\(1\)整数\(z_1 \cdot z_2\)乘积的形式。

我们又已知,它不能被其开方后的整数向下取整(\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))以内(含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))的非\(1\)整数所整除,因此无论是\(z_1\)还是\(z_2\),都不可能包含\(1\)\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)之间的素因子,否则与\(n\)不能被1到(\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))的非\(1\)整数所整除矛盾。

于是,无论是\(z_1\)还是\(z_2\)都必包含大于\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\)的素因子,这两个素因子分别记作\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_1\),\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_2\)\(k_1,k_2 \ge 1\))。

于是,

\[\begin{align} z_1 \cdot z_2 &\ge (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_1)(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + k_2) \\ & \ge (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1) \\ & = (\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)^2 \\ & > n \end{align} \]

为什么\((\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1)^2 \gt n\),因为\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor + 1 > \sqrt{n}\)。这里将\(\sqrt{n}\)取值为任意一正实数\(r\),我们可以得知任意正实数\(r\)的向下取整\(\lfloor r \rfloor\)满足:

\[\left\{ \begin{aligned} \lfloor r \rfloor & = r & , if \ r \in Z_+ \\ \lfloor r \rfloor & \gt r-1 & , if\ r \notin Z_+ \end{aligned} \right. \]

必威体育app官方版下载于是,

\[\left\{ \begin{aligned} \lfloor r \rfloor + 1 = r + 1 & \gt r & , if \ r \in Z_+ \\ \lfloor r \rfloor + 1 \gt (r-1) + 1 & = r & , if\ r \notin Z_+ \end{aligned} \right. \]

证毕。

1.3.2 算法

判定一个整数\(n\)是否为素数,只需判定该整数是否不能被其开方后的整数向下取整(\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))以内(含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))的非\(1\)整数所整除。

1.3.3 代码

/**
   * 经过优化的给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
   */
private static boolean isPrimeOptimized2(int num){

    if (1 >= num){
      return false;
    }
    // 整数num开方向下取整
    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
    for (int i = 2; i <= sqrtFloorNum; i++){
        if (0 == num % i){
            return false;
        }
    }
    return true;
}

1.3.4 算法复杂度

时间复杂度 空间复杂度
\(O(n^{\frac{1}{2}})\) \(O(1)\)

1.4 算法优化结合

我们可以将和结合起来,形成一个更优算法。

1.4.1 算法

判定一个整数\(n\)是否为素数,我们只需要判定

  1. 该数是是否是\(2\)
  2. 在该数不为\(2\)的情形下,该数是否不被以下数所整除:
    • 不被\(2\)整除,
    • 不被其开方后的整数向下取整(\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))以内(含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))的非\(1\)奇数所整除。

1.4.2 代码

/**
 * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
 */
private static boolean isPrimeOptimized3(int num){

    if (1 >= num){
        return false;
    }
    if (2 == num){
        return true;
    }
    if (0 == num % 2){
        return false;
    }
    // 整数num开方向下取整
    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
    for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){
        if (0 == num % i){
            return false;
        }
        i += 2;
    }
    return true;
}

1.4.3 算法复杂度

时间复杂度 空间复杂度
\(O(\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2}})\) \(O(1)\)

2. 给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列

易知,该问题即是上一问题的序列化,也即将上一问题在外层再套一层for循环,平铺展开后的问题。

于是,我们先给出一个初始算法。

2.1 初始算法

2.1.1 算法

给定一个正整数\(n\)必威体育app官方版下载, 求取小于等于该数的所有素数列, 即

对从\(2\)\(n\)的每一个整数,我们依次判定该数是否为素数。如果为素数,我们将该数存储起来得到的素数列。

2.1.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * 求素数算法
 * @author lunyu
 * @since 2022/7/14
 */
public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {
        int n = 300;

        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
        getPrimeNums(n, primeNums);

        // TODO: 结果输出
        System.out.println(n + "以内的素数为:");
        for (Integer primeNum : primeNums) {
            System.out.print(primeNum + " ");
        }

    }

    /**
   * 获得n以内(含n)的素数列
   * @param n
   * @param primeNums
   */
    private static void getPrimeNums(int n, List<Integer> primeNums) {
        for (int i = 2; i <= n; i++){
            boolean isPrime = isPrime(i);
            if (isPrime){
                primeNums.add(i);
            }
        }
    }

    /**
    * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
    */
    private static boolean isPrime(int num){

        if (1 >= num){
            return false;
        }

        for (int i = 2; i < num; i++){
            if (0 == num % i){
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
}

2.1.3 算法复杂度

因为多了外层的一层for循环,而内层判定一个整数是否为素数的算法我们用的初始算法(isPrime(int num)),因此其时间复杂度为\(O(n \cdot n)\)也即\(O(n^2)\)

而空间复杂度,因为我们有素数列的采集动作,因此这里空间复杂度不是\(O(1)\),而是\(O(n/{\ln n})\)。这里的值取自素数定理,即一个自然数\(x\)以内的素数个数\(\pi(x)\),其渐进估计为\(\pi(x) \sim x/\ln x\)

时间复杂度 空间复杂度
\(O(n^2)\) \(O(n/{\ln n})\)

2.2 算法优化1

这里算法优化我们分为2部分,第一部分是判定单个整数是否素数的优化;第2部分,我们对外层循环进行优化。

第一部分,我们取章节给出最终优化方案。

第二部分,我们对for循环内的数据进行一次简单优化。同样易知,\(n\)以内的素数除\(2\)意外都是奇素数,因此这里我们可以将外层for必威体育app官方版下载循环判定的数据也减半。

2.2.1 算法

给定一个正整数\(n\)必威体育app官方版下载, 求取小于等于该数的所有素数列, 即

\(2\)和从\(3\)\(n\)的每一个奇数,我们依次判定该数是否为素数 (判定该数是否为素数,取自)。

必威体育app官方版下载如果为素数,我们将该数存储起来得到的素数列。

2.2.2 代码

public static void main(String[] args) {
    int n = 300;

    List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
    getPrimeNumsOptimized1(n, primeNums);

    // TODO: 结果输出
    System.out.println(n + "以内的素数为:");
    for (Integer primeNum : primeNums) {
        System.out.print(primeNum + " ");
    }

}

/**
 * 获得n以内(含n)的素数列
 * @param n
 * @param primeNums
 */
private static void getPrimeNumsOptimized1(int n, List<Integer> primeNums) {
    if (1 >= n){
        return;
    }
    // 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2
    primeNums.add(2);
    // 对大于等3的奇数判定
    for (int i = 3; i <= n;){
        boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);
        if (isPrime){
            primeNums.add(i);
        }
        i += 2;
    }
}

/**
 * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
 */
private static boolean isPrimeOptimized3(int num){

    if (1 >= num){
        return false;
    }
    if (2 == num){
        return true;
    }
    if (0 == num % 2){
        return false;
    }
    // 整数num开方向下取整
    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
    for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){
        if (0 == num % i){
            return false;
        }
        i += 2;
    }
    return true;
}

这里外循环针对的是大于等于\(3\)的奇数,因此,内层方法判断该数小于等于\(1\) 、是否等于\(2\)和是否能被\(2\)整除的判定就显得多余了,这里可以删掉。变更为

public static void main(String[] args) {
    int n = 300;

    List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
    getPrimeNumsOptimized1(n, primeNums);

    // TODO: 结果输出
    System.out.println(n + "以内的素数为:");
    for (Integer primeNum : primeNums) {
        System.out.print(primeNum + " ");
    }

}

/**
 * 获得n以内(含n)的素数列
 * @param n
 * @param primeNums
 */
private static void getPrimeNumsOptimized1(int n, List<Integer> primeNums) {
    if (1 >= n){
        return;
    }
    // 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2
    primeNums.add(2);
    // 对大于等3的奇数判定
    for (int i = 3; i <= n;){
        boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);
        if (isPrime){
            primeNums.add(i);
        }
        i += 2;
    }
}

/**
 * 给定一个大于等于3的奇数n, 判定该数是否为素数
 */
private static boolean isPrimeOptimized3(int num){
    
    // 整数num开方向下取整
    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
    for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){
        if (0 == num % i){
            return false;
        }
        i += 2;
    }
    return true;
}

2.2.3 算法复杂度

易知外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{1}{2}n)\),内层时间复杂度为\(O(\frac{1}{2} n^{\frac{1}{2}})\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4} n^{\frac{3}{2}})\)

空间复杂度不变,仍为\(O(n/{\ln n})\)

时间复杂度 空间复杂度
\(O(\frac{1}{4} n^{\frac{3}{2}})\) \(O(n/{\ln n})\)

2.3 算法优化2

中,判定一个整数是否为素数,即判定该数是否不能被其开方后的整数向下取整(\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))以内(含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))的非\(1\)整数所整除。

这个地方的判定,我们可以进一步优化为,判定一个整数是否为素数,即判定该数是否不能被其开方后的整数向下取整(\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))以内(含\(\lfloor \sqrt{n} \rfloor\))的非\(1\)素数所整除。

直观一点,即自然数\(n\),能否不被素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)所整除。

必威体育app官方版下载证明略,同。

有了以上优化点,我们还缺少素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\),幸运的是,我们的目标“给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列”即隐含的包含该信息,也即殊途同归,目标基本一致必威体育app官方版下载。有了这些条件,我们就可以对进行一定的优化。

2.3.1 算法

给定一个正整数\(n\), 求取小于等于该数的所有素数列, 即

对从\(2\)\(n\)的每一个整数,我们依次判定该数是否为素数。如果为素数,我们将该数存储起来得到的素数列。

判定是否为素数的法则为,该数能否不被素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)所整除。

素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\),在计算过程中得到。

2.3.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.stream.Collectors;

/**
 * 求素数算法
 * @author lunyu
 * @since 2022/7/14
 */
public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {
        int n = 300;

        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
        getPrimeNumsOptimized2(n, primeNums);

        // TODO: 结果输出
        System.out.println(n + "以内的素数为:");
        for (Integer primeNum : primeNums) {
            System.out.print(primeNum + " ");
        }

    }

    /**
     * 获得n以内(含n)的素数列
     * @param n
     * @param primeNums
     */
    private static void getPrimeNumsOptimized2(int n, List<Integer> primeNums) {

        if (1 >= n){
            return;
        }

        for (int i = 2; i <= n; i++){
            boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);
            if (isPrime){
                primeNums.add(i);
            }
        }

    }

    /**
     *  判定是否为素数
     */
    private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {

        if (1 >= num){
            return false;
        }
        // 整数num开方向下取整
        double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

        // 判定能否被素数列整数
        for (Integer primeNum : primeNums) {
            if (primeNum > sqrtFloorNum){
                break;
            }
            if (0 == num % primeNum){
                return false;
            }
        }

        return true;
    }
}

这里外循环针对的是大于等于\(3\)的奇数,因此,内层方法判断该数小于等于\(1\)必威体育app官方版下载 就显得多余了,这里可以删掉。变更为

 /**
  *  判定是否为素数
  */
private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {

    // 整数num开方向下取整
    double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

    for (Integer primeNum : primeNums) {
        if (primeNum > sqrtFloorNum){
            break;
        }
        if (0 == num % primeNum){
            return false;
        }
    }

    return true;
}

2.3.3 算法复杂度

易知,外层的for循环其时间复杂度为\(O(n)\);内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n^{\frac{1}{2}}/\ln n^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}/\ln n)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{2}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)

获得素数列,其空间复杂度为\(O(n/{\ln n})\)

时间复杂度 空间复杂度
\(O(\frac{1}{2}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\) \(O(n /\ln n)\)

2.4 算法优化结合

必威体育app官方版下载我们可以将和结合起来,形成一个更优算法。

2.4.1 算法

给定一个正整数\(n\)必威体育app官方版下载, 求取小于等于该数的所有素数列, 即

\(2\)和从\(3\)\(n\)必威体育app官方版下载的每一个奇数,我们依次判定该数是否为素数 (判定该数是否为素数,取自)。

如果为素数,我们将该数存储起来得到的素数列。

2.4.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.stream.Collectors;

/**
 * 求素数算法
 * @author lunyu
 * @since 2022/7/14
 */
public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {
        int n = 300;

        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
        getPrimeNumsOptimized4(n, primeNums);

        // TODO: 结果输出
        System.out.println(n + "以内的素数为:");
        for (Integer primeNum : primeNums) {
            System.out.print(primeNum + " ");
        }

    }

    /**
     * 获得n以内(含n)的素数列
     * @param n
     * @param primeNums
     */
    private static void getPrimeNumsOptimized4(int n, List<Integer> primeNums) {
        if (1 >= n){
            return;
        }
        // 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2
        primeNums.add(2);
        // 对大于等3的奇数判定
        for (int i = 3; i <= n;){
            boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);
            if (isPrime){
                primeNums.add(i);
            }
            i += 2;
        }
    }

    /**
     *  判定是否为素数
     */
    private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {

        // 整数num开方向下取整
        double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

        for (Integer primeNum : primeNums) {
            if (primeNum > sqrtFloorNum){
                break;
            }
            if (0 == num % primeNum){
                return false;
            }
        }

        return true;
    }
}

2.4.3 算法复杂度

易知,外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{n}{2})\);内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n^{\frac{1}{2}}/\ln n^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n^{\frac{1}{2}}/\ln n)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\)

获得素数列,其空间复杂度为\(O(n/{\ln n})\)

时间复杂度 空间复杂度
\(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\) \(O(n/{\ln n})\)

3. 给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\)), 求取 \(n_1\)\(n_2\)之间其所包含的素数列

这里有两种方式可以解决问题:

第一种对\(n_1\)\(n_2\)必威体育app官方版下载之间整数,我们依次判定是否为素数,如果为素数,我们将它们采集起来得到素数列即为所求。

第二种,我们先求出小于等于\(n_2\)的所有素数列,再将该素数列中介于\(n_1\), \(n_2\)的素数列(\(\{x | n_1 \le x \le n_2, x \in P_+ \}\))取出即为所求。

3.1 算法1

必威体育app官方版下载为了减少篇幅,这里直接使用中的算法,而不从头开始逐步优化。

3.1.1 算法

给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\)), 求取 \(n_1\)\(n_2\)之间其所包含的素数列,即

\(n_1\)\(n_2\)之间整数,我们依次判定是否为素数,如果为素数,我们将它们采集起来得到素数列即为所求。

必威体育app官方版下载判定素数算法为。

3.1.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;

/**
 * 求素数算法
 * @author lunyu
 * @since 2022/7/14
 */
public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {

        int n1 = 100, n2 = 200;
        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
        for (int i = n1; i <= n2; i++) {
            boolean isPrime = isPrimeOptimized3(i);
            if (isPrime){
                primeNums.add(i);
            }
        }

        // TODO: 结果输出
        System.out.println("整数" + n1 +  ", " + n2 + "之间的素数为:");
        for (Integer primeNum : primeNums) {
            System.out.print(primeNum + " ");
        }

    }

    /**
     * 给定一个正整数n, 判定该数是否为素数
     */
    private static boolean isPrimeOptimized3(int num){

        if (1 >= num){
            return false;
        }
        if (2 == num){
            return true;
        }
        if (0 == num % 2){
            return false;
        }
        // 整数num开方向下取整
        double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));
        for (int i = 3; i <= sqrtFloorNum;){
            if (0 == num % i){
                return false;
            }
            i += 2;
        }
        return true;
    }
}

3.1.3 算法复杂度

易知外层循环时间复杂度为\(O(n_2-n_1)\),内层循环时间复杂度是\(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}})\),于是总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\)

因为有素数列的采集动作,因此这里空间复杂度是\(O(n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)

时间复杂度 空间复杂度
\(O(\frac{1}{2} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\) \(O(n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)

注: 上述算法还能再进一步优化,在外层循环中,我们处理好\(n_1\)\(n_2\)可能存在的\(=2\)这个特殊情况后,其中的循环变量,只取介于\(n_1\)\(n_2\)的奇数进行判定,这样时间复杂度可减半,变为\(O(\frac{1}{4} n_2^{\frac{1}{2}}(n_2-n_1))\)

3.2 算法2

必威体育app官方版下载同样为了减少篇幅,我们直接使用中的算法,而不从头开始逐步优化。

3.2.1 算法

给定两个正整数 \(n_1\), \(n_2\)(\(n_1 \le n_2\)), 求取 \(n_1\)\(n_2\)之间其所包含的素数列,即

先求出小于等于\(n_2\)的所有素数列,再将介于\(n_1\)\(n_2\)之间素数取出即为所求。

求出小于等于\(n_2\)的所有素数列算法取自

3.2.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
import java.util.stream.Collectors;

/**
 * 求素数算法
 * @author lunyu
 * @since 2022/7/14
 */
public class PrimeNumMain {

    public static void main(String[] args) {

        int n1 = 100, n2 = 200;
        List<Integer> primeNums = new ArrayList<>();
        getPrimeNumsOptimized2(n2, primeNums);

        primeNums = primeNums.stream().filter(e -> e.intValue() >= n1)
            .collect(Collectors.toList());

        // TODO: 结果输出
        System.out.println("整数" + n1 +  ", " + n2 + "之间的素数为:");
        for (Integer primeNum : primeNums) {
            System.out.print(primeNum + " ");
        }

    }

    /**
     * 获得n以内(含n)的素数列
     * @param n
     * @param primeNums
     */
    private static void getPrimeNumsOptimized2(int n, List<Integer> primeNums) {

        if (1 >= n){
            return;
        }
        // 如果n >= 2, 则n以内的素数默认含有2
        primeNums.add(2);
        // 对大于等3的奇数判定
        for (int i = 3; i <= n;){

            if (1 >= n){
                return;
            }

            boolean isPrime = isPrimeOptimized4(i, primeNums);
            if (isPrime){
                primeNums.add(i);
            }
            i += 2;
        }
    }

    /**
     *  判定是否为素数
     */
    private static boolean isPrimeOptimized4(int num, List<Integer> primeNums) {

        // 整数num开方向下取整
        double sqrtFloorNum = Math.floor(Math.sqrt(num));

        for (Integer primeNum : primeNums) {
            if (primeNum > sqrtFloorNum){
                break;
            }
            if (0 == num % primeNum){
                return false;
            }
        }

        return true;
    }

}

3.2.3 算法复杂度

易知,外层的for循环其时间复杂度为\(O(\frac{n_2}{2})\);内层, 遍历素数列集合\(\{x| 2\le x\le \lfloor \sqrt{n} \rfloor, x\in P_+\}\)的时间复杂度为\(O(n_2^{\frac{1}{2}}/\ln n_2^{\frac{1}{2}}) = O(\frac{1}{2}n_2^{\frac{1}{2}}/\ln n_2)\),因此总的时间复杂度为\(O(\frac{1}{4}n_2^{\frac{3}{2}}/\ln n_2)\)

获得素数列,其空间复杂度为\(O(n_2/{\ln n_2})\),获得介于 \(n_1\), \(n_2\)的素数列,其空间复杂度为\(O(n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\),于是总的空间复杂度为\(O(2n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)

时间复杂度 空间复杂度
\(O(\frac{1}{4}n_2^{\frac{3}{2}}/\ln n_2)\) \(O(2n_2/{\ln n_2} - n_1/{\ln n_1})\)

4. 从\(2\)开始计算大素数

从计算机诞生以来,计算超大素数就成为了可能。目前最大的已知素数为\((2^{82,589,933}-1)\)(来自网络),足有\(2500\)万位。计算大素数、超大素数可以用来验证很多有关素数的问题。

本文即从算法可行的角度,从\(2\)开始来计算大素数,并对计算过程进行一定的优化。

4.1 算法1

我们怎么计算大素数呢?这里我要反其道而行之。先算一部分,然后再算一部分,最后算到我们想要的数为止。说的太含混了,下面以例子进行说明。

首先,我们先获取到素数\(2\),构成初始素数列\(\{2\}\)。我们取其中最大的素数,即\(2\)。我们知道\(2^2=4\),于是,我们可以得到大于\(2\)且小于\(2^2\)的奇数列\(\{3\}\) 。我们判定这个数列中不能被初始素数列\(\{2\}\)整除的数,得到数列\(\{3\}\) 。我们将初始素数列\(\{2\}\)和新得到的数列\(\{3\}\)合并得到小于\(4\)的素数列\(\{2,3\}\)

进行第二次循环。我们已知初始素数列\(\{2,3\}\)。取其中最大的素数,即\(3\)。我们知道\(3^2=9\),于是,我们可以得到大于\(3\)且小于\(3^2\)的奇数列\(\{5,7\}\) 。我们判定这个数列中不能被已知初始素数列\(\{2,3\}\)所整除的数,得到数列\(\{5,7\}\)。我们将初始素数列\(\{2,3\}\)和新得到的数列\(\{5,7\}\)合并得到小于\(9\)的素数列\(\{2,3,5,7\}\)

进行第三次循环。我们已知初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)。取其中最大的素数,即\(7\)。我们知道\(7^2=49\),于是,我们可以得到大于\(7\)且小于\(7^2\)的奇数列\(\{9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,33,35,37,39,41,43\}\) 。我们判定这个数列中不能被已知初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)所整除的数,得到数列\(\{11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)。我们将初始素数列\(\{2,3,5,7\}\)和新得到的数列\(\{11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)合并得到小于\(49\)的素数列\(\{2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43\}\)

以此类推。

我们可以用这种方式,一直计算下去,得到任意的大的素数(如果算力允许的话)。

4.1.1 算法

\(2\)开始计算大素数即重复执行以下过程。

设全量的初始素数列\(\{2,3,\dots,p_k\}, k \ge 2\)。我们取其中最大的奇素数,即\(p_k\)。我们可以得到大于\(p_k\)且小于\(p_k^2\)的奇数列\(\{p_k + 2,\dots\ , p_k^2 - 2\}\) 。我们判定这个数列中不能被初始素数列\(\{2,\dots,p_k\}, k \ge 2\)整除的数,得到数列\(\{p_{k + 1}, \dots , p_l\}\) 。我们将初始素数列\(\{2,3,\dots,p_k\}, k \ge 2\)和新得到的素数列\(\{p_{k + 1}, \dots , p_l\}\)合并得到小于\(p_k^2\)的素数列\(\{2,3,\dots,p_l\}, l \ge 2\)

4.1.2 代码

package com.lunyu.algorithm.math.numberTheory;

import com.google.common.collect.Lists;
import java.util.List;

/**
 * 求素数算法
 * @author lunyu
 * @since 2022/7/14
 */
public class PrimeNumMain {

    /**
     * 素数上限
     * 我们还是要设置一个上限,以便退出程序
     */
    private static final int PRIME_NUM_LIMIT = 300000;

    public static void main(String[] args) {

        List<Integer> primeNums = Lists.newArrayList(2, 3);
        int round = 1;

        getPrimeNumsByRound(primeNums, round);

        // TODO: 结果输出
        for (Integer primeNum : primeNums) {
            System.out.print(primeNum + " ");
        }
    }

    /**
     * 按轮次求大素数
     */
    private static void getPrimeNumsByRound(List<Integer> primeNums, int round) {

        // 获得已知素数列的最后一个素数
        Integer lastPrimeNum = primeNums.get(primeNums.size() - 1);
        // 迭代截止
        if (lastPrimeNum >= PRIME_NUM_LIMIT){
            return;
        }
        System.out.println("执行轮次 round:" + round);

        // 执行算法
        for (int i = lastPrimeNum + 2; i <= (lastPrimeNum * lastPrimeNum - 2);){
            // 迭代截止
            if (i >= PRIME_NUM_LIMIT){
                return;
            }
            boolean isPrime = isPrime(i, primeNums);
            if (isPrime){
                primeNums.add(i);
            }
            i += 2;
        }

        round ++;
        getPrimeNumsByRound(primeNums, round);
    }

    /**
     *  判定是否为素数
     */
    private static boolean isPrime(int num, List<Integer> primeNums) {

        for (Integer primeNum : primeNums) {
            if (0 == num % primeNum){
                return false;
            }
        }

        return true;
    }

}

4.1.3 算法复杂度

时间复杂度 空间复杂度
\(O(\frac{1}{4}n^{\frac{3}{2}}/\ln n)\) \(O(n/{\ln n})\)

注:必威体育app官方版下载 虽然算法复杂度没有变,但是执行时间上,使用递归的方式还是比循环的方式慢了不少,我想可能跟递归成本高有很大关系。

posted on 2022-07-19 21:50  论语  阅读(77)  评论(2编辑必威体育app官方版下载   

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